Cinco ecuaciones que cambiaron la historia de la ciencia

 (Un artículo de Carmina de la Luz Ramírez publicado el 23 de abril de 2019 en https://www.tangible-eluniversal.com.mx)

Son bellas y útiles; complejas y perfeccionistas; antiguas y complicadas. Pero descuida, no tienes que memorizarlas, ni aprender a resolverlas. Basta con saber que existen

Es posible que en la escuela te las hayan enseñado como si se tratara de simples fórmulas, recetas donde bastaba sustituir algunos valores para aprobar el examen en turno. Sin embargo, las ecuaciones son mucho más que eso. Para los matemáticos, constituyen verdaderas obras de arte; los físicos las ven como leyes inquebrantables con las que funciona el Universo; en el caso de los ingenieros, las usan como base para el desarrollo de soluciones prácticas, y la humanidad en general ha progresado gracias a las ecuaciones.

Un teorema es para siempre

La palabra ecuación proviene del latín “aequus”, que significa “igual”. Las ecuaciones son, precisamente, igualdades matemáticas entre dos expresiones. Dentro de ellas suele haber variables conocidas y otras desconocidas; por ello, una utilidad de las ecuaciones es resolver incógnitas. Tal es el caso del Teorema de Pitágoras, cuya expresión es:

a²+b² = c²

Este teorema es una muestra de qué tan antiguas son las ecuaciones como inventos de la humanidad. Probablemente, las ecuaciones ya se usaban desde el siglo XVI antes de nuestra era; por ejemplo, varios cientos de años antes que Pitágoras, los egipcios y babilonios ya conocían la relación entre los catetos (a y b) de un triángulo rectángulo y su hipotenusa (c). Pero fue hasta el siglo VI antes de nuestra era que el matemático griego enunció formalmente y comprobó dicha relación.

El matemático español Eduardo Sáenz de Cabezón (profesor en la Universidad de La Rioja, conductor de televisión y famoso youtuber) dice que "un teorema es para siempre”.

La proposición de Pitágoras lo es porque se trata de una verdad demostrable con matemáticas. Si tienes cualquier triángulo rectángulo frente a ti —como aquel formado por la Tierra, el Sol y alguna estrella a una distancia desconocida— siempre, siempre, siempre “el cuadrado de la hipotenusa será igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. La ecuación correspondiente es uno de los pilares de la geometría; se relaciona estrechamente con el álgebra, y es la base de la trigonometría. Además, de no ser por el Teorema de Pitágoras, no contaríamos con tecnologías GPS.

Belleza profunda

Carlos Villegas —investigador del Instituto de Matemáticas de la Universidad Nacional Autónoma de México, campus Cuernavaca— explicó para Tangible que “una ecuación, en general, muestra la igualdad entre dos cosas, dos cantidades, dos objetos, dos fenómenos; por ello, en una ecuación siempre está presente el signo igual, a su izquierda hay un miembro y a la derecha otro miembro”. Curiosamente, aunque las ecuaciones son creaciones del ser humano mucho más antiguas, el signo “=” que denota la igualdad fue inventado hasta 1557 por el matemático galés Robert Recorde, quien dijo que “no hay nada más igual que dos líneas rectas paralelas de la misma longitud”. 

Para los expertos, una de las ecuaciones más bellas de todos los tiempos —al grado que se ha comparado con un soneto de Shakespeare— es la denominada identidad de Euler. Fue desarrollada por el suizo Leonhard Euler, considerado el principal matemático del siglo XVIII. Sobre la identidad de Euler, el destacado físico teórico estadounidense Richard Feynman decía que era “la fórmula más notable en matemáticas” y se refería a ella como “nuestra joya”:

La belleza de esta ecuación no es aparente, sino profunda. Para empezar, incluye las cinco constantes o números más utilizados en la historia de las matemáticas: el uno; el cero; “pi” —valor que define al círculo—; el número “e”, que aparece en numerosos fenómenos naturales y en diferentes problemas de la física; y también “i”, el número imaginario fundamental, a partir del cual se construye el conjunto de los números complejos. Además, la identidad de Euler contiene las tres operaciones matemáticas básicas: la adición o suma, la multiplicación y la exponenciación.

Básicamente, la identidad de Euler describe dos maneras equivalentes de moverse en un círculo. Respecto a su belleza, el profesor David Percy de la Universidad de Salford en Reino Unido le dijo una vez a la BBC de Londres que “la identidad de Euler es maravillosa porque es simple de ver, pero increíblemente profunda (…) Lo que me atrae es que esta igualdad conecta algunos conceptos increíblemente complicados y aparentemente no relacionados en una forma sorprendentemente concisa”.

La ecuación que describe el Universo

El doctor en Matemáticas por la Universidad de Virginia, Carlos Villegas, destaca que las ecuaciones son entrelazamientos de la física y las matemáticas en un esfuerzo por modelar la naturaleza. Como ejemplo, el también profesor de la Universidad Autónoma del Estado de Morelos señala el movimiento de los planetas: “Primero, tuvimos un modelo cualitativo —el de Claudio Ptolomeo— que colocaba a la Tierra en el centro del Universo; después lo sustituimos por el modelo de Copérnico, donde el Sol estaba en el centro y los planetas giraban a su alrededor; más tarde llegaron los modelos cuantitativos que midieron el movimiento de los cuerpos celestes, como las Leyes de Kepler, con las cuales a principios del siglo XVII se describió el fenómeno matemáticamente usando ecuaciones”.

Sin embargo, la verdadera revolución llegó con la Segunda Ley de Newton. Para Carlos Villegas —experto en física matemática— se trata de una visión del Universo en sí misma: “nos la hacen memorizar como fuerza es igual a masa por aceleración, pero es muchísimo más que eso”. Rob Moore, del Stanford Institute for Materials and Energy Sciences, le dijo al Perimeter Institute for Theoretical Physics “no puedo pensar en otra ecuación que haya tenido un impacto más dramático en nuestra historia y nuestro mundo”; Moore se refería a la Segunda Ley de Newton:

F = ma

“Deberíamos leerla de otra forma, para que realmente se entienda lo que significa”, sugiere Carlos Villegas, “parte de que todo está en movimiento, así que deberíamos decir que fuerza es igual al cambio en la cantidad de movimiento de un objeto”. Según el experto en matemáticas relacionadas con la mecánica clásica, dicha cantidad puede cambiar en el tiempo, lo cual depende de la fuerza total que esté actuando sobre el objeto: “esto significa que cada objeto, en general, recibe la acción de todo el Universo cuando se está moviendo, y viceversa”. Esa es la razón por la que los físicos reconocen la 2da Ley de Newton como aquella que gobierna mucho de lo que vemos (y no vemos) en la Tierra y el resto del cosmos, desde la trayectoria de una pelota de baseball hasta el movimiento de los planetas.

¿Cómo se gobiernan las partículas?

Carlos Villegas reconoce que lo impresionante y bello de la física es que sus modelos matemáticos cambian y se perfeccionan con el tiempo. Sucedió, por ejemplo, cuando los científicos se enfrentaron a fenómenos como los agujeros negros o al mundo cuántico. En el primer caso, resultaba muy difícil explicar con la 2da Ley de Newton el comportamiento de objetos que se mueven a velocidades cercanas a la de la luz; y algo similar ocurrió con el estudio de las partículas, la ecuación F = ma parecía insuficiente para analizar su movimiento.

El también experto en matemáticas aplicadas a la mecánica cuántica, admite que su expresión favorita es la ecuación de Schrödinger, debido a sus múltiples aplicaciones y el impacto que tiene en la tecnología: “esta ecuación describe los fenómenos de la física a nivel de moléculas, átomos y partículas subatómicas; y tiene una gran importancia en la física del estado sólido, que estudia las propiedades aislantes y conductoras de los materiales, por ejemplo”.

La historia de esta expresión comenzó en 1924, año en el que Louis-Victor de Broglie —francés que no solo fue físico, sino también séptimo duque de Broglie— propuso en su tesis doctoral que los electrones podían comportarse como ondas. Tres años más tarde, el austríaco Erwin Schrödinger modeló dicho fenómeno con la ecuación que lleva su nombre, misma que le valió el Premio Nobel de Física en 1933.

Gracias a la ecuación de Schrödinger, hoy contamos con transistores, que son los ingredientes principales de los aparatos electrónicos, como teléfonos celulares, tomógrafos, reproductores de audio y video, computadoras, etcétera. 

“Esta ecuación describe los fenómenos de la física a nivel de moléculas, átomos y partículas subatómicas; y tiene una gran importancia en la física del estado sólido, que estudia las propiedades aislantes y conductoras de los materiales"

Ilustación: Especial

La ecuación más famosa de todas

Probablemente, Albert Einstein es el científico más popular del siglo XX. El puesto se lo ganó a pulso, pues desde principios de siglo formuló modelos que décadas después fueron comprobados de manera experimental. Es el caso de las ondas gravitacionales —cuya detección con el instrumento LIGO fue acreedora al Premio Nobel de Física en 2017— y los agujeros negros, protagonistas de la más reciente noticia de ciencia que se volvió trending topic. Este es uno de los aspectos sobre las ecuaciones que más apasionan a Carlos Villegas: “cuando se alcanzan a contemplar directamente los fenómenos predichos por las matemáticas, las consecuencias para la ciencia y su capacidad de describir [y alterar] los fenómenos de la naturaleza son impresionantes”.

Einstein también es el autor de la ecuación más famosa de todas:

E = mc²

“Es parte también de los fundamentos de la mecánica cuántica”, explica el doctor Villegas, “y está asociada a la masa y energía de una partícula en movimiento”. La ecuación fue formulada por el físico alemán de origen judío como parte de su Teoría de la Relatividad Especial, publicada en 1905, cuando Einstein aún no era conocido y trabajaba en la Oficina de Patentes de Berna. Lo que Albert Einstein intentaba mostrar era la relación que existe entre dos cualidades de la materia, la energía y la masa; sin embargo, originalmente no la expresó como E = mc2, sino como un enunciado que decía “si un cuerpo emite energía L en forma de radiación, su masa disminuirá en el orden de L/V2”.

Décadas después, este principio predicho por Einstein fue uno de los puntos de partida para el desarrollo de las bombas nucleares, pero también en la creación de los sistemas GPS.