Leibniz y el cálculo infinitesimal

(Parece ser que hoy es el día de las integrales, según indica el muro de "A hombros de gigantes. Ciencia y tecnología: https://www.facebook.com/ahombrosdegiga/", en facebook, así que es un buen día para acordarse de Leibniz, el primero que usó el símbolo de integral que usamos hoy :-))

El 29 de octubre de 1675, el filósofo, lógico y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz escribía por primera vez, en un manuscrito que nunca llegó a a ser publicado, el símbolo ∫, con el cual denotamos actualmente a las integrales.

 

Por este motivo, el 29 de octubre se celebra el Día de la Integral promovido por el departamento de Matemáticas de la Universidad de Saint Bonaventure, en Nueva York, Estados Unidos. La invención del cálculo infinitesimal es atribuida tanto a Leibniz como a Newton.

 

Gran parte de Europa, en su época, llegó a dudar de que hubiera descubierto el cálculo independientemente de Isaac Newton, y por como consecuencia se despreció la totalidad de su trabajo en matemáticas y física. Leibniz pasó entonces el resto de su vida tratando de demostrar que no había plagiado las ideas de Newton.

 

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Gottfried Wilhelm Leibniz (Leipzig,Alemanía, 1 de julio de 1646 - Hannover, Alemania,14 de noviembre de 1716) fue uno de los grandes pensadores de los siglos XVII y XVIII, y se le reconoce como "El último genio universal". Realizó profundas e importantes contribuciones en las áreas de metafísica, epistemología, lógica, filosofía de la religión, así como a la matemática, física, geología, jurisprudencia e historia.

 

La invención del cálculo infinitesimal es atribuida tanto a Leibniz como a Newton. Cuando tenía 12 años había aprendido por sí mismo latín, el cual utilizó durante el resto de su vida, y había empezado a estudiar griego.

 

En 1661, con 14 años, ingresó en la universidad de su ciudad natal para estudiar leyes, y dos años después se trasladó a la Universidad de Jena, donde estudió matemáticas con E. Weigel.

 

En 1666 publicó su primer libro y también su tesis de habilitación Sobre el arte de las combinaciones. Cuando la universidad declinó el asegurarle un puesto docente en leyes tras su graduación, Leibniz optó por entregar su tesis a la Universidad de Altdorf y obtuvo su doctorado en cinco meses.

 

En 1676 fue nombrado bibliotecario del duque de Hannover, de quien más adelante sería consejero, además de historiador de la casa ducal.

 

En 1667 entró al servicio del arzobispo elector de Maguncia como diplomático, y en los años siguientes desplegó una intensa actividad en los círculos cortesanos y eclesiásticos.

 

En 1673, después de mostrar ante la Royal Society una máquina capaz de realizar cálculos aritméticos conocida como la Stepped Reckoner, que había estado diseñando y construyendo desde 1670, la primera máquina de este tipo que podía ejecutar las cuatro “operaciones aritméticas básicas”, la Sociedad le nombró miembro externo.

 

Aunque la noción matemática de función estaba implícita en la trigonometría y las tablas logarítmicas, las cuales ya existían en sus tiempos, Leibniz fue el primero, en 1692 y 1694, en emplearlas explícitamente para denotar alguno de los varios conceptos geométricos derivados de una curva, tales como abscisa, ordenada, tangente, cuerda y perpendicular. En el siglo XVIII, el concepto de “función” perdió estas asociaciones meramente geométricas.

 

Leibniz fue el primero en ver que los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales podían ser organizados en un arreglo, ahora conocido como matriz, el cual podía ser manipulado para encontrar la solución del sistema, si la hubiera. Este método fue conocido más tarde como “eliminación gaussiana”.  Leibniz también hizo aportes en el campo del álgebra booleana y la lógica simbólica.

 

La invención del cálculo infinitesimal actualmente es atribuida tanto a Leibniz como a Newton. Sin embargo, actualmente se emplea la notación del cálculo creada por Leibniz, no la de Newton. Isaac Newton usaba una pequeña barra vertical encima de una variable para indicar integración, o ponía la variable dentro de una caja. La barra vertical se confundía fácilmente con x´, que Newton usaba para indicar la derivación, y además la notación "caja" era difícil de reproducir por los impresores; por ello, estas notaciones no fueron ampliamente adoptadas.

 

De acuerdo con los cuadernos de Leibniz, el 11 de noviembre de 1675 empleó por primera vez el cálculo integral para encontrar el área bajo la curva de una función y=f(x) en su manuscrito "Methodi tangentium inversae exempla". Leibniz introdujo varias notaciones usadas en la actualidad, tal como, por ejemplo, el signo “integral” ∫, que representa una S alargada, derivado del latín summa, y la letra "d" para referirse a los “diferenciales”, del latín differentia. Esa notación, pervive hasta nuestros días. 

 

Leibniz no publicó nada acerca de su Calculus hasta 1684. La notación moderna de la integral definida, con los límites arriba y abajo del signo integral, la usó por primera vez Joseph Fourier en Mémoires de la Academia Francesa, alrededor de 1819–20, reimpresa en su libro de 1822.

 

La primera declaración publicada y prueba de una versión restringida del teorema fundamental del cálculo integral fue hecha por James Gregory (1638–1675). Isaac Barrow (1630–1677) demostró una versión más generalizada del teorema, mientras que el estudiante de Barrow Isaac Newton (1642–1727) completó el desarrollo de la teoría matemática concernida. Gottfried Leibniz (1646–1716) sistematizó el conocimiento en un cálculo de las cantidades infinitesimales.

 

La regla del producto del cálculo diferencial es aún denominada “regla de Leibniz para la derivación de un producto”. Además, el teorema que dice cuándo y cómo diferenciar bajo el símbolo integral, se llama la “regla de Leibniz para la derivación de una integral”.

 

En 1711 John Keill, al escribir en la revista de la Real Sociedad de Londres y, con la supuesta bendición de Newton, acusó a Leibniz de haber plagiado el cálculo de Newton, dando inicio de esta manera a la disputa sobre la paternidad del cálculo. Comenzó una investigación formal por parte de la Real Sociedad (en la cual Newton fue participante reconocido) en respuesta a la solicitud de retracción de Leibniz, respaldando de esta forma las acusaciones de Keill.

 

Desde 1711 hasta su muerte, la vida de Leibniz estuvo emponzoñada con una larga disputa con John Keill, Newton y otros sobre si había inventado el cálculo independientemente de Newton, o si meramente había inventado otra notación para las ideas de Newton.

 

Gran parte de Europa llegó a dudar de que hubiera descubierto el cálculo independientemente de Newton, y por como consecuencia se despreció la totalidad de su trabajo en matemáticas y física. Leibniz pasó entonces el resto de su vida tratando de demostrar que no había plagiado las ideas de Newton.

 

La recuperación de la reputación de Liebniz empieza 1765 con la pubilcación de sus Nouveaux Essais, los cuales fueron leídos rigurosamente por Kant. En 1768 Dutens publicó la primera edición en varios volúmenes de la obra de Leibniz, seguida en el siglo XIX por varias más, incluyendo la de Erdmann, Foucher de Careil, Gerhardt, Gerland, Klopp y Mollat, así como la publicación de su correspondencia con personajes notables, como Antoine Arnauld, Samuel Clarke, Sofía de Hanover y la hija de ésta, Sofía Carlota de Hannover.

 

Leibniz escribió principalmente en tres idiomas: latín escolástico (40 %), francés (35 %) y alemán (menos del 25 %). Durante su vida publicó muchos panfletos y artículos académicos, pero sólo dos libros filosóficos, De Ars combinatoria y la Théodicée.

Leibniz falleció en Hannover en 1716. Aun cuando Leibniz era miembro vitalicio de la Real Sociedad y de la Academia Prusiana de las Ciencias, ninguna de las dos entidades consideró conveniente honrar su memoria. Su tumba permaneció en el anonimato hasta que Leibniz fue exaltado por Fontenelle ante la Academia de Ciencias de Francia, la cual lo había admitido como miembro extranjero en 1700.

 

En 1985 el gobierno alemán instituyó el Premio Leibniz, que anualmente entrega 1,55 millones de euros para resultados experimentales y 770 000 euros para resultados teóricos (el premio más importante a nivel mundial para las contribuciones científicas).

 

En 1970 la UAI decidió llamarle en su honor «Leibniz» a un astroblema ubicado en el hemisferio sur del lado oscuro de la Luna.

 

En 2006, la Universidad de Hannover fue nombrada "Gottfried Wilhelm Leibniz" en su honor.