Sólidos de Catalan

(Un texto de Carlo Frabetti en El País del 13 de julio de 2018. Es sobre matemáticas, por cierto.)

El matemático belga Eugène Catalan estudió en el siglo XIX los poliedros duales de los sólidos arquimedianos.

Nos preguntábamos […] por la relación entre los balones de fútbol y los sólidos arquimedianos; reproduzco, al respecto, el comentario de nuestro “usuario destacado” Carlos Gaceo: “Los balones actuales de fútbol están conformados por un conjunto de 12 pentágonos y 20 hexágonos regulares, que ocupan el 86.74% del volumen que ocuparía una esfera perfecta circunscrita al balón. Sin embargo, existe una figura geométrica llamada rombicosidodecaedro que se aproxima aún más a la forma esférica. Está formada por 20 triángulos equiláteros, 30 cuadrados y 12 pentágonos regulares, teniendo un total de 62 caras. De esta manera el balón ocuparía un 94.33% del volumen de la esfera circunscrita”. (Hay que tener en cuenta, además, que al hinchar el balón sus caras se curvan ligeramente, con lo que a efectos prácticos se convierte en una esfera).

El conjunto de 12 pentágonos y 20 hexágonos regulares es un icosaedro truncado (pues se puede obtener truncando los vértices de un icosaedro) y, al igual que el rombicosidodecaedro, es un sólido arquimediano.

Los duales de los sólidos arquimedianos son los sólidos de Catalan (recordemos que los vértices del dual de un poliedro son los puntos medios de las caras del poliedro original), denominados así en honor del gran matemático belga Eugène Catalan, que los describió a mediados del siglo XIX.

Las caras de los sólidos de Catalan no son polígonos regulares, pero son todas iguales. Y puesto que, como vimos, hay 13 sólidos arquimedianos, sus duales, los sólidos catalanianos, también son 13:

Triaquistetraedro (12 caras y 8 vértices)

Rombododecaedro (12 caras y 14 vértices)

Triaquisoctaedro (24 caras y 14 vértices)

Tetraquishexaedro (24 caras y 14 vértices)

Icositetraedro deltoidal (24 caras y 26 vértices)

Hexaquisoctaedro (48 caras y 26 vértices)

Triacontaedro rómbico (30 caras y 32 vártices)

Triaquisicosaedro (60 caras y 32 vértices)

Pentaquisdodecaedro (60 caras y 32 vártices)

Hexecontaedro deltoidal (60 caras y 62 vértices)

Hexaquisicosaedro (120 caras y 62 vértices)

Icositetraedro pentagonal (24 caras y 38 vértices)

Hexecontaedro pentagonal (60 caras y 92 vértices)

¿De qué sólido arquimediano es el dual cada uno de ellos? Propongo a mis sagaces lectoras/es este instructivo juego de emparejamientos.

Números de Catalan

Pero Eugène Catalan, más que por sus sólidos, es conocido por sus números. Hay varias vías para llegar a los números de Catalan, y una de ellas consiste en ver de cuántas maneras distintas se puede dividir en triángulos un polígono convexo mediante diagonales que no se corten entre sí.

Un triángulo ya está dividido en triángulos de la única manera posible, por lo que le corresponde el 1.

Un cuadrilátero convexo se puede dividir en dos triángulos trazando una de sus diagonales o la otra, o sea, de 2 maneras distintas.

Un pentágono convexo se puede dividir de 5 formas distintas.

Y un hexágono, ¿de cuántas formas distintas se puede dividir en triángulos mediante diagonales que no se cortan?

En el caso del heptágono, las posibilidades son 42, y en el del octógono, 132.

Una vez hallado el término que falta en la secuencia 1, 2, 5, x, 42, 132… ¿puedes decir qué pauta sigue? O lo que es lo mismo: ¿cuál es la fórmula general que, para un polígono convexo de n lados, nos da el número de triángulos en que podemos dividirlo mediante diagonales que no se cortan?