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lunes, febrero 24

La conjetura de Poincaré, de forma sencilla



(Un texto de Carlos Manuel Sánchez en el XLSemanal del 18 de abril de 2010)

Aunque parezca mentira, los matemáticos pretenden hacemos la vida más fácil. El mundo es caótico, pero ellos lo reducen a unas pocas formas básicas. SI viviéramos en sólo dos dimensiones, nos bastarían la pelota, o mundo sin agujeros; el donut, o mundo con un agujero; y, en general, el mundo con varios agujeros, que se obtienen pegando donuts. Tres geometrías (pelotas, donuts simples y donuts pegados) son suficientes en dos dimensiones. Esta simplificación es propia de la topología, que estudia lo que permanece constante cuando un objeto es doblado, estirado o comprimido. Cualquier objeto con un agujero se puede transformar en un donut. Y todo lo que no tiene agujero en una esfera. Ojo, un balón de fútbol y otro de rugby son equivalentes porque se pueden deformar de la misma manera. Cualquiera de ellos es una estera topológica, que no tiene por que ser redonda.

La cosa es más complicada en tres dimensiones. Cavilando sobre la forma del universo, que es finito.,aunque no tiene paredes, lo que significa que debe estar curvado o doblado de alguna manera ingeniosa, el francés Henri Poincaré llegó a la conclusión en 1904 de que todo objeto tridimensional cerrado es una esfera topológica. Eso quiere decir que cualquier lazo (curva cerrada) se puede deformar hasta un punto. Como no estaba muy seguro, a su afirmación se la llamó 'conjetura de Poincaré'.
Si no se ha mareado, enhorabuena. Y si ha estado a punto, consuélese: comprender la conjetura es difícil, pero probarla costó cien años. Hamilton, con su ecuación del flujo de Ricci, iba por el buen camino, pero algunos pedacitos de sus espacios se le deformaban, rebeldes, formando 'cuellos' y 'cigarros'. 

Perelman consiguió 'domesticar' las esferas que generaba la ecuación y demostrar que ocho geometrías (en lugar de las tres de pelotas y donuts) bastan para nuestro espacio de tres dimensiones.  

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