(Un texto de Rocío P. Benavente en elconfidencial.com del 30 de enero de 2014)
Cuenta la leyenda que Alfred Nobel no contempló en su testamento
la creación de un premio para los matemáticos porque el amante de
su mujer era un matemático y les tenía algo de manía. Lo únco
cierto de esta historia, sin embargo, es que efectivamente no
existe un premio Nobel de Matemáticas. Por lo demás, lo cierto es
que Nobel nunca llegó a casarse.
A falta de un Nobel, la Unión Matemática Internacional concede
cada cuatro años la Medalla Internacional para Descubrimientos
Sobresalientes en Matemáticas, o
Medalla
Fields. No es nada fácil ganar una: como decimos, se otorga
cada cuatro años y solo a matemáticos menores de 40 años que hayan
logrado avances fundamentales en la disciplina. Su prestigio,
obviamente, es enorme.
Cada
vez que un equipo logra un avance significativo en uno de los
problemas, lo publica de forma que toda la comunidad lo
compruebe, lo valide y lo incorpore a sus desarrollos. Más que
el reconocimiento, es una carrera por el progreso colectivo de
las MatemáticasUna de las formas de obtenerla
automáticamente es dar con la solución para uno de los llamados
Problemas del Milenio, los siete enigmas
matemáticos que el Instituto Clay enunció en el año 2000 como los
más importantes por resolver en la disciplina. Una Medalla Fields
y un millón de dólares como recompensa se otorgarán al que consiga
resolver cada uno de ellos. De eso hace ya 14 años y,
oficialmente, solo uno ha sido resuelto (aunque puede que la
respuesta parcial a otro haya sido también
formulada recientemente).
Y no será porque no se intenta: matemáticos de instituciones de
todo el mundo trabajan en estos problemas, incluidos muchos
españoles. Cada vez que un equipo logra un avance significativo,
lo publica de forma que toda la comunidad lo compruebe, lo valide
y lo incorpore a sus desarrollos. No se trata solo de
reconocimiento personal, esto es una carrera colectiva por el
progreso de las matemáticas.
Pero se trata de una carrera con muchos obstáculos porque son
cuestiones muy complejas, que involucran a muchas áreas de la
disciplina al mismo tiempo y requieren de años de investigación.
En
Teknautas hemos contado con la ayuda de
Eduardo
Sáenz de Cabezón, profesor de Matemáticas y Computación de
la Universidad de la Rioja (y un magnífico divulgador, así
lo demuestran sus monólogos científicos como parte de
The Big Van Theory) para explicar, uno a uno
y para todos los públicos, cuáles son estos Problemas del Milenio
y por qué, si consigues resolverlos, merecerás sin duda un millón
de dólares.
1. El problema de P vs. NP
"El problema de
P vs. NP trata, básicamente, de saber si hay
problemas intrínsecamente difíciles o simplemente es que no hemos
dado con una buena forma de resolver cualquier problema", explica
Sáenz de Cabezón.
Comencemos por lo básico: ¿qué es un problema? Se considera un
problema a la relación entre un conjunto de entradas (o
instancias) y un conjunto de salidas (o soluciones). La
especificación del problema, es decir, sus instrucciones, nos dice
cómo debe ser esa relación.
Se llama conjunto de problemas P a aquellos para los que existe
un modo eficiente (conocido y con una serie de pasos determinada)
de encontrar una solución. El conjunto de problemas NP, por su
parte, está formado por aquellos para los que existe un método
eficaz de verificar que una respuesta es, efectivamente, una
solución.
Si se puede encontrar una solución fácilmente, entonces se podrá
verificar fácilmente. Eso quiere decir que los problemas que
forman parte del grupo P, también forman parte del grupo NP. Lo
que no se sabe es si dentro de NP hay problemas que no estén
dentro de P.
A simple vista, los matemáticos consideran que la respuesta es
sí, que el conjunto NP contiene problemas que no están en P, pero
desde que los matemáticos Stephen Cook y Leonid Levin plantearon
este problema en 1971, nadie lo ha podido demostrar.
2. La conjetura de Hodge
"La
conjetura de Hodge es el problema de
representabilidad de clases de homología para variedades
complejas. Esto probablemente no le dice nada a nadie que no sea
matemático y esté metido en alguna de las áreas a las que afecta
esta conjetura", reconoce Sánz de Cabezón, antes de comenzar su
explicación.
La primera característica de este problema, planteado por el
escocés William Hodge como resultado de sus trabajos en los años
30 y 40, es precisamente que afecta a varias áreas de las
matemáticas. Otra es que, a diferencia del anterior problema, no
hay una idea muy clara sobre si la conjetura es cierta o no,
y nadie sabe por dónde puede venir la solución.
Para explicar esta cuestión, hay que remontarse a la Antigüedad.
Desde los griegos, las matemáticas se han construido basándose en
varios conceptos fundamentales. Dos de ellos son la generalización
y la abstracción, que muchas veces van de la mano.
Según avanzaba la comprensión de la lógica que rige las
matemáticas, los estudiosos fueron utilizando clases de números
cada vez más generales: los
naturales (para contar), los
enteros (que incluyen a los negativos), los
racionales (que incluyen las fracciones),
los
reales (que incluyen aquellos con infinitos
decimales), los
complejos (que incluyen raíces cuadradas de
números negativos), y otras aún más elaboradas. Cada una de esas
clases engloba a todas las anteriores.
El estudio de las formas, la geometría, también se generalizó.
Este tratamiento cada vez más abstracto facilita que haya
herramientas para tratar números y formas de manera conjunta,
viéndolos a ambos como variaciones de entidades aún más
abstractas. Cuando las cosas se ponen muy generales, surgen
conceptos como las variedades complejas o la homología de esas
variedades. Estas abstracciones sirven para describir de una vez
objetos muy diferentes, para comprenderlos mejor y hacer cálculos
con ellos.
La
conjetura de Hodge, de ser cierta, probaría que hay un camino
a un nivel muy profundo entre muchas ramas de las matemáticas
que, hasta ahora, parecen conectadas solo parcialmente"Demostrar
la conjetura de Hodge probaría que hay un camino a un nivel muy
profundo entre muchas ramas de las matemáticas que, hasta ahora,
parecen conectadas solo parcialmente". Eso permitiría intercambiar
técnicas que hasta ahora se aplican solo en uno u otro campo por
separado, y podrían atacarse problemas muy difíciles usando
técnicas más sencillas.
Si la conjetura de Hodge es cierta, el edificio de las
matemáticas tendría un nuevo pasillo en una de sus zonas
centrales, lo que daría una visión más acertada del mapa global.
Si fuese falsa, significaría que ese pasillo no existe, que solo
hay pequeños pasillos conectando algunas de esas áreas, lo que
también serviría para tener una visión más exacta del edificio
global.
3. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
La conjetura que lanzaron los británicos Bryan Birch y Peter
Swinnerton-Dyer a principios de los 60 es un problema sobre
ecuaciones. Todos conocemos las ecuaciones:
las estudiamos en el colegio, y están allá donde se quiera
modelizar un proceso o una estructura utilizando las matemáticas.
Hay ecuaciones sencillas, como 3x-1=2 que se resuelven fácilmente
(en este caso, x=1). Pero enseguida las ecuaciones demuestran que
pueden ocultar misterios aunque su apariencia sea inofensiva. Por
ejemplo, la ecuación x+2=1 no tiene soluciones positivas, y la
ecuación 2x+1=0 ni siquiera tiene soluciones enteras. De hecho,
hay ecuaciones que tienen más de una solución. Por ejemplo, x²-2=0
tiene dos soluciones posibles, y ninguna es un número entero. Y
una ecuación en apariencia sencilla como x²+1=0 no tiene siquiera
soluciones entre los números reales, para encontrarlas tendríamos
que ir a los números complejos.
Todo
cambia cuando en una ecuación hay más variables, como por
ejemplo xy+x-2y=0. El mundo de las ecuaciones de varias
variables es muy complicado. Cuando hay más de dos, es muy
difícil saber en la mayoría de los casos cuántas soluciones
tiene, ni siquiera si tiene un número finito o infinito de
ellasEn muchos casos es posible saber cuántas
soluciones tiene una ecuación: el número viene dado por el máximo
exponente al que aparezca elevada la x. Por ejemplo, la ecuación
x³-x²+x=0 tiene exactamente tres soluciones. Esto se conoce como
el
teorema fundamental del álgebra.
Todo cambia cuando en una ecuación hay más variables, como por
ejemplo xy+x-2y=0. El mundo de las ecuaciones de varias variables
es muy complicado. Cuando hay más de dos, es difícil saber en la
mayoría de los casos cuántas soluciones tiene, ni siquiera si
tiene un número infinito de ellas.
Quedan entonces por explicar las ecuaciones que tienen
exactamente dos variables. Pero antes, hay que fijarse en otro
concepto más: el del grado de una ecuación, que es la suma de los
exponentes a los que están elevadas sus variables. Por ejemplo, la
ecuación x³-xy+xy³+1=0 es de grado 4, que es el grado del término
xy³.
El matemático Bryan BirchLos
matemáticos se preguntan qué ecuaciones tienen soluciones
racionales. Y la respuesta depende del grado de la ecuación.
Para las ecuaciones de dos variables de grado 2 o menor hay un
método específico de descubrir si la ecuación tiene soluciones
racionales o no. Este método funciona siempre y en un número
determinado de pasos. Cuando el grado es tres o más, conocemos un
método que también funciona, pero nadie ha podido demostrar que
funcione siempre.
En cuanto al número de soluciones, y suponiendo que
una ecuación tiene al menos una solución racional, las de grado 2
o menor tienen un número infinito de soluciones, mientras que las
de grado 4 o mayor tienen un número finito de soluciones. Las de
grado 3 son el caso difícil, ya que pueden tener un número finito
o infinito de soluciones.
Ha
habido, como es de esperar, muchos intentos de resolver esta
conjetura, y se ha conseguido demostrar para algunos casos
particulares, pero nadie lo ha conseguido en general, y las
vías tradicionales para acometerlo se están agotandoEse
es precisamente el caso en el que se mueve la
conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer: las
ecuaciones de dos variables y de grado 3 que tienen al menos una
solución racional. A esas ecuaciones se las conoce como
curvas elípticas, y esta conjetura describe
explícitamente la estructura que tiene el conjunto de sus
soluciones. Una descripción que, además, resulta tener una forma
sorprendente, ya que depende del comportamiento en torno al número
1 de una función analítica, algo que pertenece a otra área
totalmente distinta de las matemáticas.
La solución a esta conjetura, asegura Sáenz de
Cabezón, resolvería de un plumazo un problema muy difícil, dándole
una respuesta completa y elegante, conectando además dos esquinas
de las matemáticas muy diferentes entre sí.
"Ha habido, como es de esperar, muchos intentos de resolver esta
conjetura, y se ha conseguido demostrar para algunos casos
particulares, pero nadie lo ha conseguido en general, y las vías
tradicionales para acometerlo se están agotando. Es probable que
la solución acabe llegando por una nueva línea revolucionaria y
sorprendente, como pasa muchas veces en las matemáticas", explica
Sáenz de Cabezón.
4. La hipótesis de Riemann
David Hibert fue uno de los matemáticos más
importantes del siglo XIX y principios del XX. En una ocasión,
declaró que si le diesen la oportunidad de volver a la vida dentro
de 500 años, lo primero que preguntaría sería: "¿Ha resuelto
alguien la hipótesis de Riemann?".
"Este problema parece algo en principio bastante críptico. La
hipótesis en crudo es la siguiente: la parte real de los ceros no
triviales de la función zeta de Riemann es siempre ½. En seguida
vamos a entrar en materia, pero comenzamos explicando que es una
de esas cuestiones que, por alguna razón profunda pero difícil de
explicar, es importante para la construcción del edificio
matemático", comenta Sáenz de Cabezón.
Los
intentos por demostrarla han sido muchos, y las evidencias a
su favor también lo son: se ha determinado, con ayuda de un
ordenador, que los primeros 10 trillones de ceros no triviales
de esta función satisfacen la hipótesis de Riemann, pero eso
no es una demostración. Quizá más adelante aparezca algún cero
no trivial que no satisfaga la hipótesis. No se sabrá hasta
que haya una demostración a favor o en contraEn
el siglo XIX, el alemán Bernhard Riemann extendió a los números
complejos una famosa
función que el holandés Leonhard Euler había
construido para los números reales, definiendo así lo que
hoy se llama
función zeta de Riemann. Riemann se dedicó a
estudiar para qué valores esa función se anula,
se hace cero.
Existen infinitos ceros; por ejemplo, todos los números pares
anulan la función zeta de Riemann, así que son
ceros de
esa función. Son los llamados ceros triviales.
Pero existen muchos otros ceros no triviales, que son los números
que el matemático quería encontrar. Logró hallar muchas
propiedades que un número complejo debía cumplir para ser un cero
no trivial.
Los números complejos tienen una parte real y otra imaginaria;
Riemann observó que los ceros no triviales de su función tenían
una parte real cercana a ½, y que ésta se distribuía de forma
simétrica en torno a la recta de valor ½. Así que conjeturó que la
parte real de todo cero no trivial de su función equivalía
exactamente a ½, pero no pudo probarlo.
Los intentos de demostrarla han sido muchos, y las evidencias a
su favor también lo son: se ha determinado, con ayuda de un
ordenador, que los primeros 10 trillones de ceros no triviales de
esta función satisfacen la
hipótesis de Riemann pero no es suficiente.
Quizá más adelante aparezca algún cero no trivial que no satisfaga
la hipótesis. No se sabrá hasta que haya una demostración a favor
o en contra.
¿Y por qué tanta fascinación? ¿Qué tiene de especial esa función
zeta y sus ceros para que la mayoría de los matemáticos considere
tan importante si su parte real vale ½ o no? La respuesta está en
los números primos.
Los números primos son las piezas fundamentales del conjunto de
los números enteros, son los ladrillos de oro de la base del
edificio de las matemáticas. Y son un misterio. Por más que se ha
intentado hallar una fórmula que los describa y permita saber con
toda certeza dónde aparecerá el próximo número primo, estos
siempre se han escabullido.
La función zeta de Riemann constituye una especie de norma que
apunta a la comprensión del comportamiento de estos números. "La
cantidad de resultados que dependen de esta hipótesis es inmensa,
la luz que arrojaría sobre las matemáticas es incalculable. Por
eso se afirma tantas veces que es el problema matemática abierto
más importante que existe", concluye Sáenz de Cabezón.
Grigori Perelman es seguramente una de las
figuras más reconocidas de las matemáticas modernas. Este
matemático ruso es hasta ahora el único que ha logrado resolver
uno de los llamados
Problemas del Milenio, una hazaña con
mayúsculas dentro de su disciplina.
Resolver uno de estos problemas no solo es complejo por su
dificultad, sino porque la solución propuesta pasa un implacable
escrutinio y debe sobrevivir dos años sin ser desafiada antes de
ser considerada como válida. Una vez logrado, eso sí, el
reconocimiento de la comunidad científica es sincero y unánime.
Una
Medalla Fields y un millón de dólares son la
parte material del premio.
Un reconocimiento que a Perelman no pudo interesarle menos. El 18
de marzo de 2010, el Instituto Clay de Matemáticas anunció que su
solución cumplía con los requisitos para recibir el premio, pero
el rechazo del ruso fue implacable: "No quiero estar expuesto como
un animal en un zoológico. No soy un héroe de las matemáticas. Ni
siquiera soy tan exitoso. Por eso no quiero que todo el mundo me
esté mirando". Su nombre quedará siempre ligado al de la
genialidad matemática, pero él prefirió seguir llevando una vida
discreta y retirada. Y sin su millón de dólares.
En las últimas semanas, otro matemático, el kazajo Mujtarbay
Otelbáyev, ha publicado lo que podría ser
una solución parcial a la ecuación Navier-Stokes,
pero su trabajo tiene por delante un largo camino antes de ser
considerado un desarrollo válido. De momento, se ha topado con un
obstáculo inesperado:
Otelbáyev ha explicado su solución en ruso,
y la comunidad matemática trabaja principalmente en inglés, de
forma que antes de poder comprobarla, habrá que traducirla. No se
trata de un aspecto menor, ya que las matemáticas son un idioma
universal, pero el razonamiento tras las fórmulas es igualmente
importante.
Explicamos a continuación los últimos tres Problemas del Milenio,
incluidos el resuelto por Perelman (la conjetura de Poincaré) y el
que podría haber contribuido a solucionar Otelbáyev (las
ecuaciones de Navier-Stokes).
5. La conjetura de Poincaré
Debido a que este problema está resuelto, el hecho es que ya no
se trata de la
conjetura de Poincaré, sino del
teorema
de Poincaré. Si alguien no tiene muy clara la diferencia
entre una conjetura y un teorema, podríamos decir, igual que dice
el propio Sáenz de Cabezón
en este monólogo, que un teorema es "para
siempre, siempre".
"Esta conjetura se sitúa en una de las ramas más hermosas de las
matemáticas, conocida como
topología, que se ocupa de estudiar aquellas
propiedades de los cuerpos geométricos que se mantienen cuando los
estiramos, deformamos, doblamos, etc. como si fueran de
plastilina, pero sin romperlos ni pegarlos por ningún sitio. Es lo
que técnicamente se conoce como
transformaciones continuas",
explica Sáenz de Cabezón.
Una de las cuestiones principales en topología es el problema de
la clásificación de los objetos: para la topología, una taza y una
rosquilla son equivalentes, porque si fueran de plastilina se
podría transformar una en otra sin romperlas; sin embargo, un
churro y una rosquilla no lo son, porque un churro de plastilina
no puede convertirse en una rosquilla sin romperlo ni pegarlo.
Esto puede parecer un juego, o algo absurdo, pero, tal y como
ocurre muchas veces con las matemáticas, los problemas y objetos
de los que se ocupa la topología describen de modo
sorprendentemente adecuado los objetos de estudio de otras
ciencias. En concreto, la topología se relaciona con la física
y el estudio del universo.
Henri
Poincaré fue uno de los fundadores de la
topología, y uno de los que sentó sus bases fundamentales.
La conjetura que lleva su nombre dice
literalmente que "toda variedad de dimensión
n, cerrada
y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera de dimensión
n".
Que no cunda el pánico, vamos a explicarlo.
Lo que dijo Poincaré es que la esfera tiene, en cualquier
dimensión, una serie de características (como ser cerrada y sin
agujeros) que solo las tiene la esfera, y cualquier otro cuerpo
que las tenga será equivalente topológicamente (eso es lo que
quiere decir "homeomorfa") a una esfera.
Esta conjetura fue enunciada en 1904, y desde entonces se había
conseguido probar para n=2, después para n mayor que 4 y más tarde
para n=4. El caso de n=3 se resistió durante más de cien años.
Entonces, en 2006,
Perelman culminó el trabajo que otros habían
realizado antes, resolviendo no solo la conjetura de Poincaré en
el único caso que faltaba y convirtiéndola en teorema, sino una
cuestión más general, llamada el
teorema de geometrización de Thurston. "Como
pasa tantas veces, la solución llegó utilizando herramientas
nuevas y procedimientos de otras áreas de las matemáticas que
parecían no tener relación con el problema original", señana Sáenz
de Cabezón.
Es difícil atribuir la solución de un problema tan importante a
una sola persona. Lo que Perelman consiguió fue poner la última
pieza del puzzle, que dio sentido al cuadro completo. "Su
aportación fue decisiva, lo que demuestra el genio que es, pero
este, como todos en matemáticas, es un resultado esencialmente
colectivo".
6. Las ecuaciones de Navier-Stokes
Las
ecuaciones de Navier-Stokes reciben este
nombre porque fueron propuestas por el hidrólogo e ingeniero
Claude-Luis Navier a principios de siglo XIX y formuladas
rigurosamente por el matemático y físico Geoge-Gabriel Stokes unos
cincuenta años después.
Resumiendo, podríamos decir que estas ecuaciones son un modelo
matemático sencillo para describir el movimiento de un fuido
incompresible (es decir, que su densidad es constante) y viscoso
(es decir, que las distintas capas del fuido ejercen cierta fuerza
unas sobre otras, que se arrastran entre sí).
Para ello, estas fórmulas tienen en cuenta las variables que
describen el fluido y sus condiciones iniciales: la velocidad a la
que se mueven sus partículas, la presión, la densidad y la
viscosidad, así como las fuerzas externas que puedan afectarle,
como por ejemplo la de la gravedad. También tienen en cuenta las
condiciones del contorno del fluido, como por ejemplo el
recipiente que lo contiene o si está metido en otro fluido con el
que no se mezcla (como ocurriría si echásemos gotas de aceite en
un vaso de agua).
Lo que hacen estas ecuaciones es, a partir de esas condiciones
iniciales, tratar de describir la trayectoria que seguirán las
partículas del fluido sometidas a las diferencias de presión, así
como a las fuerzas que ligan a unas partículas con otras.
"El problema consiste en saber si las ecuaciones de Navier-Stokes
tienen siempre solución, sean las que sean esas condiciones
iniciales, o si hay algún caso en el que estas ecuaciones no
pueden ser resueltas. No se trata de evaluar si el modelo
desarrollado por Navier y Stokes se adecúa a la realidad, sino de
determinar si es matemáticamente consistente", puntualiza Sáenz de
Cabezón.
Existen soluciones parciales a este problema: se sabe que las
ecuaciones tienen respuesta en general cuando se utilizan en dos
dimensiones, y también que tienen
soluciones débiles, es
decir, que explican el movimiento de un fluido
en promedio,
pero no necesariamente punto por punto, que funcionan bien durante
un tiempo si las condiciones iniciales son suficientemente buenas.
Se ha trabajado mucho en este problema, y ha habido avances
importantes, entre ellos el de Mujtarbay Otelbáyev, pero parece
que la solución completa, por el momento, se escapa.
7. Las ecuaciones de Yang-Mills
Este problema resulta especialmente complejo, ya que en él se
mezclan las matemáticas y la física teórica, aunque no es ni mucho
menos la primera vez: "La física ha utilizado y desarrollado
teorías matemáticas fundamentales para explicar y construir sus
modelos: por ejemplo, el desarrollo del cálculo tal y como lo
conocemos hoy fue parejo a la explicación newtoniana de la
realidad, y la geometría basada en los desarrollos de Riemann fue
desarrollada y explicada al amparo de la teoría de la relatividad
general de Einstein", explica Sáenz de Cabezón.
Esta es la época de la física cuántica, que también necesita un
desarrollo matemático de primer orden para poder asentarse y
describir de un modo riguroso los fenómenos que trata de explicar.
Aquí es donde entran en escena las
ecuaciones de Yang Mills.
Este conjunto de ecuaciones, conocido también como la teoría de
Yang-Mills, es el modelo matemático que subyace al
modelo estándar de la física de partículas.
Se trata de una generalización de la teoría de la
electrodinámica cuántica, que es a su vez
una generalización de la teoría del
electromagnetismo , publicada por el
británico James Clerk Maxwell a mediados del siglo XIX.
La cuestión es que esta teoría tiene un problema por resolver en
lo que se refiere a la masa, que ha heredado de esos otros
modelos. En la teoría de la electrodinámica cuántica, las
partículas
importantes son los
fotones,
que no tienen masa. Sin embargo, las partículas responsables de la
fuerza nuclear débil, los
bosones W y Z, sí que tienen masa e
interaccionan con los fotones. ¿Cómo podían interaccionar
partículas con y sin masa?
La teoría que desarrollaron el chino Chen Ning Yang y el
estadounidense Robert Mills logró una explicación para esas
interacciones débiles que era compatible con la electrodinámica
cuántica ya establecida. Se consideró un gran logro de la física,
y se bautizó con el nombre de
teoría electrodébil. Pero lo que no se ha
conseguido todavía es hacer lo mismo con las interacciones
fuertes.
El problema que persiste en torno a las ecuaciones de Yang-Mills
es doble: por un lado, lograr demostrar de modo matemáticamente
riguroso los fundamentos de la teoría de Yang-Mills, y por otro,
hacer que esta teoría sea completamente compatible, para todas las
interacciones, con el papel de la masa, lo que se llama el
salto
de masa.
"Las dificultades son muchas, y se han dado avances en la
descripción de la teoría de Yang-Mills que la convierten en una
descripción plausible de los modelos físicos actuales. Pero hoy
por hoy no existen las herramientas para solucionar el
salto
de masa. Hacen falta nuevas ideas que entren en este ámbito
para acercarnos a una solución", asegura Sáenz de cabezón.
Etiquetas: Ciencias de todo pelaje (física - química - matemáticas-biología-anatomía-medicina...)
